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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 24%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 24%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €30 000 tra 5 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €30 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 2,5%n = 8
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 8 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 8P = €945
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 2 ha un rendimento richiesto del 15%. Il tasso privo di rischio è del 2%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 2re = 15%rf = 2%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,2 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,75. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio del 2% e il premio per il rischio di mercato del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €8 000, €8 000, €10 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e rende €13 000, €10 000, €12 000, €12 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,24/365 = 0,0006575
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0006575)365 − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%
Risposta
EAR = 27,11%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 443,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0125, N = 16
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €432,61
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8197 = €819,75
Prezzo
P = €1 252,36
Risposta
P = €1 252,36
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,955 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€945 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €942,53
YTM = 7,955%
Risposta
YTM = 7,955%
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (15% − 2%)/2 = 6,5%
Rendimento di mercato
rm = 2% + 6,5% = 8,5%
Risposta
rm = 8,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,922 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,4) = 0,9254
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,9254·(1 + 0,742·0,75) = 1,44
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,44·5,5% = 9,922%
Risposta
re = 9,922%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 7418 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 6 000/1,06 = 5 660,38
CF2/(1 + 0,06)2 = 8 000/1,124 = 7 119,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
CF4/(1 + 0,06)4 = 10 000/1,262 = 7 920,94
Sommali
NPV = €7 418,24
Risposta
NPV = €7 418,24
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 22,47 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.