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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 8 anni.
PV = €3 0004,8% / 12n = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 17 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 3% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 17? Trova FV.
A = €3 000i = 3%n = 17
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 4%n = 6
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €965 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 5,1 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 150 punti base.
P0 = €965y = 6%D = 5,1Δy = −150 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il premio per il rischio di mercato è del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 0,25T = 20%rf = 1,5%rm − rf = 4,5%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €14 000, €11 000, €17 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €20 000 e rende €11 500, €7 500, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €22 000 e rende €6 000, €9 000, €11 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,03)17 − 1)/0,03 = 21,76
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·21,76·1,03 = €67 243,31
Risposta
FV = €67 243,31
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1106 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,02, N = 12
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €317,26
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7885 = €788,49
Prezzo
P = €1 105,75
Risposta
P = €1 105,75
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1035 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 5,1/1,06 = 4,811
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −4,811·(−0,015) = 7,217%
P ≈ 965·(1 + 0,07217) = €1 034,64
Risposta
P = €1 034,64
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,45 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,8·0,25) = 1,32
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,32·4,5% = 7,44%
Risposta
re = 7,44%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −9770 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 14 000/1,09 = 12 844,04
CF2/(1 + 0,09)2 = 11 000/1,188 = 9 258,48
CF3/(1 + 0,09)3 = 17 000/1,295 = 13 127,12
Sommali
NPV = €−9 770,36
Risposta
NPV = €−9 770,36
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 3,152 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 500 = −5 500
ΔCF2 = 9 000 − 7 500 = 1 500
ΔCF3 = 11 500 − 5 000 = 6 500
TIR della differenza
NPVΔ(3%) = 22,51
NPVΔ(4%) = −123,15
r* = 3,152%
Risposta
r* = 3,152%
Verifica: al 3,152% entrambi i VAN valgono €2 752,87.