Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €8 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.

PV = €8 0004,8% / 12n = 3

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €20 0002,4% / 12N = 72

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 2%YTM = 8%n = 12

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 13 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 129. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 8%P = €1 129prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 3 anni

YTC = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 6,4%. Il tasso privo di rischio è del 2,5%. Quale rendimento atteso del mercato r_m implica il CAPM?

β = 0,6r_e = 6,4%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €42,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.

β = 0,8r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €20 000 oggi e rende €7 500, €7 500, €8 000, €6 500, €8 000 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 8 000CF₄ = 6 500CF₅ = 8 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €40 000 e restituisce €16 500, €19 000, €24 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 19 000CF₃ = 24 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 9236 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·3 = 36

Valore futuro

FV = 8 000·(1 + 0,004)³⁶ = 8 000·1,155 = €9 236,42

Risposta

FV = €9 236,42

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 298,5 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 20 000·0,002/(1 − 0,866) = €298,53

Risposta

A = €298,53

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 542,6 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €10,00, i = 0,04, N = 24

Valore attuale delle cedole

€10,00·(1 − 0,3901)/0,04 = €152,47

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,3901 = €390,12

Prezzo

P = €542,59

Risposta

P = €542,59

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 5,719 %

Equazione del rendimento

1129 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

Risolvi numericamente

y = 5%: €1 150,80

y = 6%: €1 120,63

YTC = 5,719%

Risposta

YTC = 5,719%

Il rendimento a scadenza è del 6,5%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

5.CAPM e WACC

Risposta: r_m = 9 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Premio per il rischio di mercato

r_m − r_f = (6,4% − 2,5%)/0,6 = 6,5%

Rendimento di mercato

r_m = 2,5% + 6,5% = 9%

Risposta

r_m = 9%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,504 %

Valori di mercato

E = 5 000 000·€42,50 = €212 500 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 4% + 0,8·4,5% = 7,6%

Pesi

V = €217 750 000, E/V = 0,9759, D/V = 0,02411

WACC

WACC = 0,9759·7,6% + 0,02411·4,5%·(1 − 0,2) = 7,504%

Risposta

WACC = 7,504%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 2,876 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 7 500/1,05 = 7 142,86 → Σ = 7 142,86

anno 2: 7 500/1,103 = 6 802,72 → Σ = 13 945,58

anno 3: 8 000/1,158 = 6 910,70 → Σ = 20 856,28

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 2 + 6 054,42/6 910,70 = 2,876

Risposta

DPB = 2,876 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,625 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 21,67 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(20%) = 1 122,69

NPV(25%) = −2 096,00

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 20 + 5·1 122,69/(1 122,69 − (−2 096,00)) = 21,74%

esatto: NPV(21,67%) = 0 → IRR = 21,67%

Risposta

IRR = 21,67%

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