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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 al 3% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 13 anni.
PV = €20 000r = 3%t = 13
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 28 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €5003% / 12N = 336
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 11 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5% al 3,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 7%n = 11y1 = 5%y2 = 3,5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 6%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 5%n = 3YTM = 6%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,6 ha un rendimento richiesto del 9,7%. Il tasso privo di rischio è del 2,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,6re = 9,7%rf = 2,5%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €26,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €11 000, €12 000, €11 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €33 000, €32 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 33 000CF2 = 32 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 29540 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,03·13 = 0,39
e0,39 = 1,477
Valore futuro
FV = 20 000·1,477 = €29 539,62
Risposta
FV = €29 539,62
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 262788 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 50/1,06 = 47,17, t·PV = 47,17
t = 2: 50/1,124 = 44,50, t·PV = 89,00
t = 3: 1050/1,191 = 881,60, t·PV = 2 644,80
Duration
P = 973,27
D = 2 780,97/973,27 = 2,857
Risposta
D = 2,857 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 7 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (9,7% − 2,5%)/1,6 = 4,5%
Rendimento di mercato
rm = 2,5% + 4,5% = 7%
Risposta
rm = 7%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,134 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 11 000/1,09 = 10 091,74
CF2/(1 + 0,09)2 = 12 000/1,188 = 10 100,16
CF3/(1 + 0,09)3 = 11 000/1,295 = 8 494,02
Sommali
NPV = €−16 314,08
Risposta
NPV = €−16 314,08
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 20,11 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 69,44
NPV(25%) = −2 800,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.