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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €1 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.

PV = €1 0003% / 12n = 7

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 12 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.

A = €3003% / 12N = 144

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 3%n = 11

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 3 anni e quota €1 025. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 3P = €1 025

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

D/E = 1r_e = 13%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €45,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.

β = 1,8r_f = 4%r_m = 10%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €40 000 oggi e rende €14 500, €16 500, €12 500, €15 000, €10 500, €10 000 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 8%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 16 500CF₃ = 12 500CF₄ = 15 000CF₅ = 10 500CF₆ = 10 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €9 000, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 1233 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·7 = 84

Valore futuro

FV = 1 000·(1 + 0,0025)⁸⁴ = 1 000·1,233 = €1 233,35

Risposta

FV = €1 233,35

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 51922 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·12 = 144

Valore futuro dei versamenti

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,433 − 1)/0,0025 = €51 922,28

Risposta

FV = €51 922,28

Tu hai versato €43 200; il resto sono interessi.

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1140 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €22,50, i = 0,015, N = 22

Valore attuale delle cedole

€22,50·(1 − 0,7207)/0,015 = €418,97

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,7207 = €720,69

Prezzo

P = €1 139,66

Risposta

P = €1 139,66

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 5,081 %

Equazione del rendimento

€1 025 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Risolvi numericamente

P(5%) = €1 027,23, P(6%) = €1 000,00

YTM = 5,081%

Risposta

YTM = 5,081%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,9 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,2) = 7,9%

Risposta

WACC = 7,9%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 12,3 %

Valori di mercato

E = 2 500 000·€45,50 = €113 750 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,8·6% = 14,8%

Pesi

V = €152 150 000, E/V = 0,7476, D/V = 0,2524

WACC

WACC = 0,7476·14,8% + 0,2524·7%·(1 − 0,3) = 12,3%

Risposta

WACC = 12,3%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,227 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 14 500/1,08 = 13 425,93 → Σ = 13 425,93

anno 2: 16 500/1,166 = 14 146,09 → Σ = 27 572,02

anno 3: 12 500/1,26 = 9 922,90 → Σ = 37 494,92

anno 4: 15 000/1,36 = 11 025,45 → Σ = 48 520,37

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 2 505,08/11 025,45 = 3,227

Risposta

DPB = 3,227 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,72 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 20,23 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(20%) = 81,02

NPV(25%) = −1 576,00

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 20 + 5·81,02/(81,02 − (−1 576,00)) = 20,24%

esatto: NPV(20,23%) = 0 → IRR = 20,23%

Risposta

IRR = 20,23%

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