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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €8 000 alla fine di ogni anno per 10 anni. Il tasso di interesse è il 3% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €8 000i = 3%n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €100 000 tra 3 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €100 0006% / 12N = 36
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 375 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 12P = €1 375YTM = 4%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 079. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 079prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 4 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €9,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 8%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €22 000, €23 000, €19 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €20 000 e rende €6 000, €7 500, €10 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7441)/0,03 = 8,53
Valore attuale
PV = 8 000·8,53 = €68 241,62
Risposta
PV = €68 241,62
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 2542 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−12 = €624,60
Cedola
C = (1375 − 624,60)/9,385 = €79,96
Tasso cedolare
c = 79,96/1000 = 7,996%
Risposta
c = 7,996%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 6,298 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1079 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 6%: €1 090,10
y = 7%: €1 053,40
YTC = 6,298%
Risposta
YTC = 6,298%
Il rendimento a scadenza è del 5,998%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,039 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·10% + 0,2·7%·(1 − 0,258) = 9,039%
Risposta
WACC = 9,039%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 3,205 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 22 000/1,09 = 20 183,49
CF2/(1 + 0,09)2 = 23 000/1,188 = 19 358,64
CF3/(1 + 0,09)3 = 19 000/1,295 = 14 671,49
Sommali
NPV = €−5 786,39
Risposta
NPV = €−5 786,39
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 7,225 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −20 000 − (−10 000) = −10 000
ΔCF1 = 6 000 − 5 500 = 500
ΔCF2 = 7 500 − 4 000 = 3 500
ΔCF3 = 10 500 − 2 500 = 8 000
TIR della differenza
NPVΔ(7%) = 54,71
NPVΔ(8%) = −185,69
r* = 7,225%
Risposta
r* = 7,225%
Verifica: al 7,225% entrambi i VAN valgono €636,51.