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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 6 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0006% / 12n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €100 000 tra 13 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €100 0004,2% / 12N = 156
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 4%n = 10
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 14 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 087. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 087prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 5 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €32,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 7%rd = 3%T = 30%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €6 500 alla fine di ogni anno per 6 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €6 500S = €10 000n = 6r = 6%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 500, €4 500, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 4 500CF3 = 5 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 10475 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,432 = €10 474,54
Risposta
PV = €10 474,54
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 483 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,02, N = 20
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,673)/0,02 = €654,06
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,673 = €672,97
Prezzo
P = €1 327,03
Risposta
P = €1 327,03
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 7,248 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1087 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 7%: €1 098,04
y = 8%: €1 054,45
YTC = 7,248%
Risposta
YTC = 7,248%
Il rendimento a scadenza è del 7,005%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,117 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 500 000·€32,50 = €81 250 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 0,6·5% = 5%
Pesi
V = €121 250 000, E/V = 0,6701, D/V = 0,3299
WACC
WACC = 0,6701·5% + 0,3299·3%·(1 − 0,3) = 4,043%
Risposta
WACC = 4,043%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −987,8 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
6 500·4,917 = 31 962,61
Valore attuale del valore residuo
10 000/1,419 = 7 049,61
NPV
NPV = −40 000 + 31 962,61 + 7 049,61 = −€987,79
Risposta
NPV = −€987,79
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 25,65 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 96,00
NPV(30%) = −603,10
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.