Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €20 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 15 anni.

PV = €20 000r = 8%t = 15

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 15 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 15? Trova FV.

A = €3 000i = 8%n = 15

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 6%YTM = 8%n = 8

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 8 anni e quota €1 145. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 4%n = 8P = €1 145

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio del 1% e il premio per il rischio di mercato del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 28%r_f = 1%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €9 000, €5 000, €6 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 500, €4 000, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 4 000CF₃ = 4 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 66402 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,08·15 = 1,2

e^1,2 = 3,32

Valore futuro

FV = 20 000·3,32 = €66 402,34

Risposta

FV = €66 402,34

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 87973 €

Fattore della rendita posticipata

((1 + 0,08)¹⁵ − 1)/0,08 = 27,15

Rendita anticipata

Ogni versamento resta investito un anno in più.

FV = 3 000·27,15·1,08 = €87 972,85

Risposta

FV = €87 972,85

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 883,5 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €30,00, i = 0,04, N = 16

Valore attuale delle cedole

€30,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €349,57

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,5339 = €533,91

Prezzo

P = €883,48

Risposta

P = €883,48

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 2,019 %

Equazione del rendimento

€1 145 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Risolvi numericamente

P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20

YTM = 2,019%

Risposta

YTM = 2,019%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 4,645 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·8% + 0,6667·4%·(1 − 0,258) = 4,645%

Risposta

WACC = 4,645%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 8,442 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 0,9/(1 + 0,72·0,2) = 0,7867

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,7867·(1 + 0,72·1) = 1,353

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,353·5,5% = 8,442%

Risposta

r_e = 8,442%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −2617 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 9 000/1,08 = 8 333,33

CF₂/(1 + 0,08)² = 5 000/1,166 = 4 286,69

CF₃/(1 + 0,08)³ = 6 000/1,26 = 4 762,99

Sommali

NPV = €−2 616,98

Risposta

NPV = €−2 616,98

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 19,77 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(15%) = 766,01

NPV(20%) = −34,72

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 15 + 5·766,01/(766,01 − (−34,72)) = 19,78%

esatto: NPV(19,77%) = 0 → IRR = 19,77%

Risposta

IRR = 19,77%

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