Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una rendita paga €3 000 alla fine di ogni anno per 18 anni. Il tasso di interesse è il 4% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.

A = €3 000i = 4%n = 18

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Prendi in prestito €10 000 al 3% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €125 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.

P = €10 000A = €1253% / 12

N = rate

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 3%YTM = 5,5%n = 8

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 3%. Trova la duration di Macaulay D in anni.

F = €1 000cedola = 8%n = 6YTM = 3%

D = anni

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 6,9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €3 000 000D = €2 000 000WACC = 6,9%r_d = 3%T = 25%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €16,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 11%. Trova il WACC.

β = 1,5r_f = 4%r_m = 11%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €8 000, €9 000, €9 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un investimento di €20 000 rende €3 500 alla fine di ogni anno per 10 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

C₀ = €20 000CF = €3 500n = 10

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 37978 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Fattore di rendita

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4936)/0,04 = 12,66

Valore attuale

PV = 3 000·12,66 = €37 977,89

Risposta

PV = €37 977,89

2.Valore temporale del denaro

Risposta: N = 90 rate

Riordina la formula della rendita

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,0025/125 = 0,8

Risolvi con i logaritmi

N = −ln(0,8)/ln(1,002) = 89,37

Arrotonda a rate intere

89 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.

N = 90

Risposta

N = 90 rate

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 839,9 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €15,00, i = 0,0275, N = 16

Valore attuale delle cedole

€15,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €192,07

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,6479 = €647,87

Prezzo

P = €839,94

Risposta

P = €839,94

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: D = 5,118 anni

Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valore attuale di ogni flusso

t = 1: 80/1,03 = 77,67, t·PV = 77,67

t = 2: 80/1,061 = 75,41, t·PV = 150,82

t = 3: 80/1,093 = 73,21, t·PV = 219,63

t = 4: 80/1,126 = 71,08, t·PV = 284,32

t = 5: 80/1,159 = 69,01, t·PV = 345,04

t = 6: 1080/1,194 = 904,48, t·PV = 5 426,90

Duration

P = 1 270,86

D = 6 504,38/1 270,86 = 5,118

Risposta

D = 5,118 anni

5.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 10 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

Parte del debito nel WACC

0,4·3%·(1 − 0,25) = 0,9%

Costo del capitale proprio

r_e = (6,9% − 0,9%)/0,6 = 10%

Risposta

r_e = 10%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 12,08 %

Valori di mercato

E = 2 000 000·€16,50 = €33 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,5·7% = 14,5%

Pesi

V = €42 800 000, E/V = 0,771, D/V = 0,229

WACC

WACC = 0,771·14,5% + 0,229·5%·(1 − 0,21) = 12,08%

Risposta

WACC = 12,08%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −8527 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 8 000/1,1 = 7 272,73

CF₂/(1 + 0,1)² = 9 000/1,21 = 7 438,02

CF₃/(1 + 0,1)³ = 9 000/1,331 = 6 761,83

Sommali

NPV = €−8 527,42

Risposta

NPV = €−8 527,42

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 11,73 %

Fattore di rendita richiesto

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/3 500 = 5,714

Ricava il tasso

Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.

i = 11%: 5,889

i = 12%: 5,65

IRR = 11,73%

Risposta

IRR = 11,73%

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