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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €3 000 alla fine di ogni anno per 17 anni. Il tasso di interesse è il 7% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €3 000i = 7%n = 17
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €200 alla fine di ogni mese per 14 anni. Il conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2004,8% / 12N = 168
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 10 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €872 quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 10P = €872YTM = 9%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 122. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 122prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 3 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
E = €2 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 6%T = 28%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €18,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €9 300 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,30 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €18 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €20 000, €29 000, €30 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €21 000, €34 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 21 000CF2 = 34 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 29290 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3166)/0,07 = 9,763
Valore attuale
PV = 3 000·9,763 = €29 289,67
Risposta
PV = €29 289,67
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 47776 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,09)−10 = €422,41
Cedola
C = (872 − 422,41)/6,418 = €70,06
Tasso cedolare
c = 70,06/1000 = 7,006%
Risposta
c = 7,006%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 5,954 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1122 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 5%: €1 150,80
y = 6%: €1 120,63
YTC = 5,954%
Risposta
YTC = 5,954%
Il rendimento a scadenza è del 6,504%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,44 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9% + 0,3333·6%·(1 − 0,28) = 7,44%
Risposta
WACC = 7,44%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,584 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,3·1,02 = €1,33
re = 1,326/18,5 + 0,02 = 9,168%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€18,50 = €18 500 000
V = €37 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9,168% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 6,584%
Risposta
WACC = 6,584%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2329 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 20 000/1,12 = 17 857,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 29 000/1,254 = 23 118,62
CF3/(1 + 0,12)3 = 30 000/1,405 = 21 353,41
Sommali
NPV = €2 329,17
Risposta
NPV = €2 329,17
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,68 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 292,52
NPV(10%) = −2 396,69
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.