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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €3 000 alla fine di ogni anno per 13 anni. Il tasso di interesse è il 4% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €3 000i = 4%n = 13
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €200 0006% / 12N = 240
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €929 quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €929YTM = 5%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Viene venduta a €1 164. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 6P = €1 164
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 9,37%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €8 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 6%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 088 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 4 anni e costa €3 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €3 000n = 4r = 12%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €3 500, €6 000, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 6 000CF3 = 6 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 29957 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6006)/0,04 = 9,986
Valore attuale
PV = 3 000·9,986 = €29 956,94
Risposta
PV = €29 956,94
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1433 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 200 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 432,86
Risposta
A = €1 432,86
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 2,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,05)−4 = €822,70
Cedola
C = (929 − 822,70)/3,546 = €29,98
Tasso cedolare
c = 29,98/1000 = 2,998%
Risposta
c = 2,998%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,994 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, N = 12
Risolvi numericamente
i = 1,497% per semestre
YTM
YTM = 2·1,497% = 2,994%
Risposta
YTM = 2,994%
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 14 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Parte del debito nel WACC
0,5·6%·(1 − 0,21) = 2,37%
Costo del capitale proprio
re = (9,37% − 2,37%)/0,5 = 14%
Risposta
re = 14%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,106 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−4)/0,12 = 3,037
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/3,037 = 19 754,07
EAC
EAC = 19 754,07 + 3 000 = €22 754,07
Risposta
EAC = €22 754,07
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 23,22 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 555,56
NPV(25%) = −288,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.