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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 10 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0005% / 12n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €30 000 tra 4 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €30 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 13 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €718 quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 13P = €718YTM = 5%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 8%n = 6YTM = 5%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €42,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €8 000, €13 000, €14 000, €14 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €17 000, €18 000, €18 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 17 000CF2 = 18 000CF3 = 18 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 6072 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·10 = 120
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,647 = €6 071,61
Risposta
PV = €6 071,61
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 561,3 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,05)−13 = €530,32
Cedola
C = (718 − 530,32)/9,394 = €19,98
Tasso cedolare
c = 19,98/1000 = 1,998%
Risposta
c = 1,998%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,069 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19
t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12
t = 3: 80/1,158 = 69,11, t·PV = 207,32
t = 4: 80/1,216 = 65,82, t·PV = 263,26
t = 5: 80/1,276 = 62,68, t·PV = 313,41
t = 6: 1080/1,34 = 805,91, t·PV = 4 835,48
Duration
P = 1 152,27
D = 5 840,79/1 152,27 = 5,069
Risposta
D = 5,069 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,6 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·14% + 0,2857·3%·(1 − 0,3) = 10,6%
Risposta
WACC = 10,6%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,07 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 1 000 000·€42,00 = €42 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,3·6% = 9,3%
Pesi
V = €51 800 000, E/V = 0,8108, D/V = 0,1892
WACC
WACC = 0,8108·9,3% + 0,1892·4%·(1 − 0,3) = 8,07%
Risposta
WACC = 8,07%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 9010 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 8 000/1,09 = 7 339,45
CF2/(1 + 0,09)2 = 13 000/1,188 = 10 941,84
CF3/(1 + 0,09)3 = 14 000/1,295 = 10 810,57
CF4/(1 + 0,09)4 = 14 000/1,412 = 9 917,95
Sommali
NPV = €9 009,81
Risposta
NPV = €9 009,81
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 15,34 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 228,49
NPV(20%) = −2 916,67
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.