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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €20 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €20 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 5? Trova il debito residuo B.
P = €200 0003,6% / 12N = 240k = 60
B = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 5 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 8%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 5y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 095 con un rendimento a scadenza del 5% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 10,7 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 75 punti base.
P0 = €1 095y = 5%D = 10,7Δy = −75 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 6,96%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €19,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €7 000, €8 000, €12 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €30 000 e rende €16 500, €12 000, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €35 000 e rende €9 500, €13 500, €18 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 60 = 180
B = 1170·(1 − (1 + 0,003)−180)/0,003 = €162 575,36
Risposta
B = €162 575,36
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 4,529 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 10,7/1,05 = 10,19
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −10,19·(−0,0075) = 7,643%
P ≈ 1095·(1 + 0,07643) = €1 178,69
Risposta
P = €1 178,69
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 12,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
Parte del debito nel WACC
0,625·4,5%·(1 − 0,258) = 2,087%
Costo del capitale proprio
re = (6,96% − 2,087%)/0,375 = 12,99%
Risposta
re = 12,99%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,731 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 14 000/1,15 = 12 173,91
CF2/(1 + 0,15)2 = 7 000/1,322 = 5 293,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 8 000/1,521 = 5 260,13
CF4/(1 + 0,15)4 = 12 000/1,749 = 6 861,04
Sommali
NPV = €−411,91
Risposta
NPV = €−411,91
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 3,536 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 500 − 16 500 = −7 000
ΔCF2 = 13 500 − 12 000 = 1 500
ΔCF3 = 18 500 − 7 000 = 11 500
TIR della differenza
NPVΔ(3%) = 141,91
NPVΔ(4%) = −120,48
r* = 3,536%
Risposta
r* = 3,536%
Verifica: al 3,536% entrambi i VAN valgono €3 438,08.