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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €12 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €12 0003,6% / 4n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 7 anni. Il conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3004,8% / 12N = 84
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 12 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 8% al 9,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 5%n = 12y1 = 8%y2 = 9,5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Viene venduta a €1 069. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 7% (2×)n = 9P = €1 069
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 6,83%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €23,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 8%rd = 3%T = 28%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi, dura 9 anni e costa €3 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €3 000n = 9r = 8%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €17 500, €25 000, €15 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 17 500CF2 = 25 000CF3 = 15 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 17172 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, N = 18
Risolvi numericamente
i = 2,998% per semestre
YTM
YTM = 2·2,998% = 5,997%
Risposta
YTM = 5,997%
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 7,995 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte del debito nel WACC
0,3333·6%·(1 − 0,25) = 1,5%
Costo del capitale proprio
re = (6,83% − 1,5%)/0,6667 = 7,995%
Risposta
re = 7,995%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,867 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−9)/0,08 = 6,247
Prezzo d’acquisto annualizzato
80 000/6,247 = 12 806,38
EAC
EAC = 12 806,38 + 3 000 = €15 806,38
Risposta
EAC = €15 806,38
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 21,47 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 914,35
NPV(25%) = −2 064,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.