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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 al 6% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 3 anni.
PV = €2 000r = 6%t = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €25 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 5,5%n = 11
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Viene venduta a €798. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 4P = €798
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 12%rd = 5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 11%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 8 anni alla scadenza) quotate €971 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €8 000, €13 000, €9 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €10 000 rende €1 500 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €10 000CF = €1 500n = 9
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2394 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,06·3 = 0,18
e0,18 = 1,197
Valore futuro
FV = 2 000·1,197 = €2 394,43
Risposta
FV = €2 394,43
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 546,8 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 25 000·0,002/(1 − 0,9086) = €546,75
Risposta
A = €546,75
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1041 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0275, N = 22
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,5506)/0,0275 = €490,30
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5506 = €550,55
Prezzo
P = €1 040,86
Risposta
P = €1 040,86
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,001 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, N = 8
Risolvi numericamente
i = 4% per semestre
YTM
YTM = 2·4% = 8,001%
Risposta
YTM = 8,001%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,75 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·5%·(1 − 0,3) = 7,75%
Risposta
WACC = 7,75%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,42 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 8 000/1,08 = 7 407,41
CF2/(1 + 0,08)2 = 13 000/1,166 = 11 145,40
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
Sommali
NPV = €−4 302,70
Risposta
NPV = €−4 302,70
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,463 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 10 000/1 500 = 6,667
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.