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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €8 000 alla fine di ogni anno per 12 anni. Il tasso di interesse è il 10% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €8 000i = 10%n = 12
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €10 000 al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €300 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €10 000A = €3004,8% / 12
N = rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 9 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 4% al 6%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 6%n = 9y1 = 4%y2 = 6%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 7%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 4YTM = 7%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €2 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €54,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 3,5%rm = 10%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi, dura 8 anni e costa €4 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €50 000M = €4 000n = 8r = 5%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €10 000 rende €3 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €10 000CF = €3 000n = 5
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 54510 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3186)/0,1 = 6,814
Valore attuale
PV = 8 000·6,814 = €54 509,53
Risposta
PV = €54 509,53
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 36 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,004/300 = 0,8667
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85
Arrotonda a rate intere
35 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 36
Risposta
N = 36 rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −148,7 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 45/1,07 = 42,06, t·PV = 42,06
t = 2: 45/1,145 = 39,30, t·PV = 78,61
t = 3: 45/1,225 = 36,73, t·PV = 110,20
t = 4: 1045/1,311 = 797,23, t·PV = 3 188,90
Duration
P = 915,32
D = 3 419,77/915,32 = 3,736
Risposta
D = 3,736 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,383 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Prezzo d’acquisto annualizzato
50 000/6,463 = 7 736,09
EAC
EAC = 7 736,09 + 4 000 = €11 736,09
Risposta
EAC = €11 736,09
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 15,24 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 10 000/3 000 = 3,333
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.