Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €25 000 tra 2 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €25 0003,6% / 12n = 2

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Prendi in prestito €5 000 al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €100 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.

P = €5 000A = €1004,2% / 12

N = rate

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 9 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 4,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?

F = €1 000cedola = 7%n = 9y₁ = 2,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 7 anni e quota €885. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 7P = €885

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_p = 6%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €8 000 000 e un costo del capitale proprio del 9%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 8 anni alla scadenza) quotate €1 070 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.

E = €8 000 000r_e = 9%obbligazioni: 8 000 × €1 070cedola = 4%n = 8T = 30%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €17 000, €35 000, €34 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 35 000CF₃ = 34 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €17 500, €10 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 10 000CF₃ = 14 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 23266 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·2 = 24

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,075 = €23 265,78

Risposta

PV = €23 265,78

2.Valore temporale del denaro

Risposta: N = 56 rate

Riordina la formula della rendita

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,0035/100 = 0,825

Risolvi con i logaritmi

N = −ln(0,825)/ln(1,004) = 55,06

Arrotonda a rate intere

55 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.

N = 56

Risposta

N = 56 rate

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: ΔP = −177 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo al vecchio rendimento

C = €70,00, i = 0,025, N = 9

€70,00·(1 − 0,8007)/0,025 + €1 000·0,8007 = €557,96 + €800,73 = €1 358,69

Prezzo al nuovo rendimento

C = €70,00, i = 0,045, N = 9

€70,00·(1 − 0,6729)/0,045 + €1 000·0,6729 = €508,82 + €672,90 = €1 181,72

Variazione

ΔP = 1 181,72 − 1 358,69 = −€176,97

Risposta

ΔP = −€176,97

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,986 %

Equazione del rendimento

€885 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Risolvi numericamente

P(4%) = €939,98, P(5%) = €884,27

YTM = 4,986%

Risposta

YTM = 4,986%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,26 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,6, P_s/V = 0,1, D/V = 0,3

WACC

WACC = 0,6·9% + 0,1·6% + 0,3·6%·(1 − 0,3) = 7,26%

Risposta

WACC = 7,26%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 5,434 %

Costo del debito (YTM)

1070 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 3,003%

Valori di mercato

D = 8 000·€1 070 = €8 560 000

V = €16 560 000, E/V = 0,4831, D/V = 0,5169

WACC

WACC = 0,4831·9% + 0,5169·3,003%·(1 − 0,3) = 5,434%

Risposta

WACC = 5,434%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −5075 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 17 000/1,1 = 15 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 35 000/1,21 = 28 925,62

CF₃/(1 + 0,1)³ = 34 000/1,331 = 25 544,70

Sommali

NPV = €−5 075,13

Risposta

NPV = €−5 075,13

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 32,92 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 978,61

NPV(35%) = −656,66

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·978,61/(978,61 − (−656,66)) = 32,99%

esatto: NPV(32,92%) = 0 → IRR = 32,92%

Risposta

IRR = 32,92%

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