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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €15 000 tra 6 anni. Un conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €15 0004,8% / 12n = 6

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €20 0005,4% / 12N = 48

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 7%YTM = 6%n = 7

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Viene venduta a €962. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 10P = €962

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,8. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1,5. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il premio per il rischio di mercato è del 6%. Trova il costo del capitale proprio r_e con la nuova struttura del capitale.

β_U = 0,8D/E = 1,5T = 25,8%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €20 000 oggi e rende €5 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500CF₆ = 5 500

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 000, €6 500, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 500CF₃ = 5 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 11253 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,333 = €11 252,89

Risposta

PV = €11 252,89

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 464,2 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·4 = 48

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,8061

A = 20 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €464,22

Risposta

A = €464,22

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1056 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €35,00, i = 0,03, N = 14

Valore attuale delle cedole

€35,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €395,36

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,6611 = €661,12

Prezzo

P = €1 056,48

Risposta

P = €1 056,48

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 5,499 %

Per periodo

C = €25,00, N = 20

Risolvi numericamente

i = 2,75% per semestre

YTM

YTM = 2·2,75% = 5,499%

Risposta

YTM = 5,499%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,4 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·4%·(1 − 0,3) = 8,4%

Risposta

WACC = 8,4%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 13,64 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Beta levered

β_L = 0,8·(1 + 0,742·1,5) = 1,69

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,69·6% = 13,64%

Risposta

r_e = 13,64%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 4,751 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 5 500/1,1 = 5 000,00 → Σ = 5 000,00

anno 2: 5 500/1,21 = 4 545,45 → Σ = 9 545,45

anno 3: 5 500/1,331 = 4 132,23 → Σ = 13 677,69

anno 4: 5 500/1,464 = 3 756,57 → Σ = 17 434,26

anno 5: 5 500/1,611 = 3 415,07 → Σ = 20 849,33

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 4 + 2 565,74/3 415,07 = 4,751

Risposta

DPB = 4,751 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,636 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 35,33 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(35%) = 43,18

NPV(40%) = −575,80

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 35 + 5·43,18/(43,18 − (−575,80)) = 35,35%

esatto: NPV(35,33%) = 0 → IRR = 35,33%

Risposta

IRR = 35,33%

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