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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €10 000 tra 2 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €10 0004% / 12n = 2

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €8 0005,4% / 12N = 48

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 14 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €650 quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 14P = €650YTM = 9%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 10 anni e quota €930. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 10P = €930

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €51,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.

β = 0,8r_f = 1%r_m = 6%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €50 000 oggi e rende €13 500 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 500CF₃ = 13 500CF₄ = 13 500CF₅ = 13 500

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €20 000 e restituisce €14 000, €14 000, €7 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 7 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 9232 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·2 = 24

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,083 = €9 232,39

Risposta

PV = €9 232,39

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 185,7 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·4 = 48

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,8061

A = 8 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €185,69

Risposta

A = €185,69

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 4,505 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,09)⁻¹⁴ = €299,25

Cedola

C = (650 − 299,25)/7,786 = €45,05

Tasso cedolare

c = 45,05/1000 = 4,505%

Risposta

c = 4,505%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 6,996 %

Equazione del rendimento

€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Risolvi numericamente

P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €929,76

YTM = 6,996%

Risposta

YTM = 6,996%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,091 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·4%·(1 − 0,28) = 8,091%

Risposta

WACC = 8,091%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 4,545 %

Valori di mercato

E = 4 000 000·€51,00 = €204 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 0,8·5% = 5%

Pesi

V = €244 000 000, E/V = 0,8361, D/V = 0,1639

WACC

WACC = 0,8361·5% + 0,1639·3%·(1 − 0,258) = 4,545%

Risposta

WACC = 4,545%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 4,86 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 13 500/1,1 = 12 272,73 → Σ = 12 272,73

anno 2: 13 500/1,21 = 11 157,02 → Σ = 23 429,75

anno 3: 13 500/1,331 = 10 142,75 → Σ = 33 572,50

anno 4: 13 500/1,464 = 9 220,68 → Σ = 42 793,18

anno 5: 13 500/1,611 = 8 382,44 → Σ = 51 175,62

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 4 + 7 206,82/8 382,44 = 4,86

Risposta

DPB = 4,86 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,704 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 39,47 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(35%) = 1 100,44

NPV(40%) = −123,91

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 35 + 5·1 100,44/(1 100,44 − (−123,91)) = 39,49%

esatto: NPV(39,47%) = 0 → IRR = 39,47%

Risposta

IRR = 39,47%

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