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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 2 anni.
PV = €3 0004,8% / 12n = 2
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 16 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2503% / 12N = 192
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 11 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 2%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4,5%n = 11y1 = 3%y2 = 2%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 136. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 136prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 5 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €28,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 7%rd = 7%T = 28%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €6 000, €13 000, €14 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €12 500, €15 500, €10 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 15 500CF3 = 10 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 3302 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1136 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 186,69
y = 3%: €1 134,72
YTC = 2,975%
Risposta
YTC = 2,975%
Il rendimento a scadenza è del 3,999%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,333 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 6 000/1,07 = 5 607,48
CF2/(1 + 0,07)2 = 13 000/1,145 = 11 354,70
CF3/(1 + 0,07)3 = 14 000/1,225 = 11 428,17
Sommali
NPV = €−1 609,65
Risposta
NPV = €−1 609,65
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 25,81 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 296,00
NPV(30%) = −1 433,77
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.