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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €20 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €20 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €25 0003,6% / 12N = 36
I = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 2,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 10y0 = 2,5%y1 = 3%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 3%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 6%n = 4YTM = 3%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 14%rd = 5%T = 28%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €30,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 9%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €36 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 1% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €36 000g = 1%r = 12%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €40 000 e rende €22 000, €16 500, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €42 000 e rende €11 000, €17 500, €24 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 36
A = 25 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−36) = €733,66
Interessi totali
I = N·A − P = 36·733,7 − 25 000 = €1 411,74
Risposta
I = €1 411,74
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −1,073 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 60/1,03 = 58,25, t·PV = 58,25
t = 2: 60/1,061 = 56,56, t·PV = 113,11
t = 3: 60/1,093 = 54,91, t·PV = 164,73
t = 4: 1060/1,126 = 941,80, t·PV = 3 767,19
Duration
P = 1 111,51
D = 4 103,27/1 111,51 = 3,692
Risposta
D = 3,692 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,92 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·5%·(1 − 0,28) = 11,92%
Risposta
WACC = 11,92%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,804 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 36 000/(0,12 − 0,01) = 327 272,73
NPV
NPV = 327 272,73 − 250 000 = €77 272,73
Risposta
NPV = €77 272,73
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 8,77 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 11 000 − 22 000 = −11 000
ΔCF2 = 17 500 − 16 500 = 1 000
ΔCF3 = 24 000 − 9 500 = 14 500
TIR della differenza
NPVΔ(8%) = 182,72
NPVΔ(9%) = −53,40
r* = 8,77%
Risposta
r* = 8,77%
Verifica: al 8,77% entrambi i VAN valgono €1 555,06.