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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €1 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 5 anni.
PV = €1 0002% / 4n = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €30 0004,2% / 12N = 72
I = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 2,5%n = 7
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 9%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 5%n = 5YTM = 9%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni quotate €16,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €9 900 000. Ha appena pagato un dividendo di €0,80 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €16 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €26 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €26 000g = 4%r = 12%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e rende €3 500, €3 500, €5 000, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0035, N = 72
A = 30 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−72) = €472,09
Interessi totali
I = N·A − P = 72·472,1 − 30 000 = €3 990,79
Risposta
I = €3 990,79
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1351 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0125, N = 14
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €510,82
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8404 = €840,37
Prezzo
P = €1 351,19
Risposta
P = €1 351,19
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 4,5 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 50/1,09 = 45,87, t·PV = 45,87
t = 2: 50/1,188 = 42,08, t·PV = 84,17
t = 3: 50/1,295 = 38,61, t·PV = 115,83
t = 4: 50/1,412 = 35,42, t·PV = 141,69
t = 5: 1050/1,539 = 682,43, t·PV = 3 412,14
Duration
P = 844,41
D = 3 799,69/844,41 = 4,5
Risposta
D = 4,5 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,696 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·14% + 0,4·4,5%·(1 − 0,28) = 9,696%
Risposta
WACC = 9,696%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,927 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 26 000/(0,12 − 0,04) = 325 000,00
NPV
NPV = 325 000,00 − 250 000 = €75 000,00
Risposta
NPV = €75 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 17,24 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.