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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 21%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 21%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €50 000 tra 3 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €50 0003,6% / 12N = 36
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 8 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €907 quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 8P = €907YTM = 6%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €980 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 4,9 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 50 punti base.
P0 = €980y = 4%D = 4,9Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il suo WACC è del 8,78%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 10%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 6%, 12 anni alla scadenza) quotate €921 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €9 000, €7 000, €10 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €11 000, €11 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 11 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 22,71 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,21/4 = 0,0525
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0525)4 − 1 = 1,227 − 1 = 22,71%
Risposta
EAR = 22,71%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1317 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,06)−8 = €627,41
Cedola
C = (907 − 627,41)/6,21 = €45,02
Tasso cedolare
c = 45,02/1000 = 4,502%
Risposta
c = 4,502%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 956,9 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 4,9/1,04 = 4,712
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −4,712·(0,005) = −2,356%
P ≈ 980·(1 − 0,02356) = €956,91
Risposta
P = €956,91
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Parte del debito nel WACC
0,4286·4,5%·(1 − 0,3) = 1,35%
Costo del capitale proprio
re = (8,78% − 1,35%)/0,5714 = 13%
Risposta
re = 13%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,058 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 6 000/1,05 = 5 714,29
CF2/(1 + 0,05)2 = 9 000/1,103 = 8 163,27
CF3/(1 + 0,05)3 = 7 000/1,158 = 6 046,86
CF4/(1 + 0,05)4 = 10 000/1,216 = 8 227,02
Sommali
NPV = €−1 848,56
Risposta
NPV = €−1 848,56
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 8,161 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 907,03
NPV(10%) = −495,87
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.