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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 al 5% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 16 anni.
PV = €2 000r = 5%t = 16
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 23 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1006% / 12N = 276
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 2,5%n = 11
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Viene venduta a €714. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 11P = €714
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €51,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €15 300 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,30 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €51 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €7 000, €13 000, €13 000, €8 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €14 500, €13 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 13 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4451 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,05·16 = 0,8
e0,8 = 2,226
Valore futuro
FV = 2 000·2,226 = €4 451,08
Risposta
FV = €4 451,08
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 59225 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0125, N = 22
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €765,22
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7609 = €760,87
Prezzo
P = €1 526,09
Risposta
P = €1 526,09
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,5 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, N = 22
Risolvi numericamente
i = 2,75% per semestre
YTM
YTM = 2·2,75% = 5,5%
Risposta
YTM = 5,5%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,628 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,3·1,04 = €1,35
re = 1,352/51 + 0,04 = 6,651%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€51,00 = €51 000 000
V = €102 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·6,651% + 0,5·4,5%·(1 − 0,25) = 5,013%
Risposta
WACC = 5,013%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 5426 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 7 000/1,06 = 6 603,77
CF2/(1 + 0,06)2 = 13 000/1,124 = 11 569,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 13 000/1,191 = 10 915,05
CF4/(1 + 0,06)4 = 8 000/1,262 = 6 336,75
Sommali
NPV = €5 425,53
Risposta
NPV = €5 425,53
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 8 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 054,42
NPV(10%) = −661,16
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.