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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 10 anni.
PV = €2 000r = 8%t = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 11 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5,5% al 6,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 8%n = 11y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €985 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11,7 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 50 punti base.
P0 = €985y = 6%D = 11,7Δy = −50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €12 000 000, azioni privilegiate per €2 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €10,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €20 000 oggi e rende €4 500, €7 500, €7 000, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 4. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 000, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 5 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4451 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·10 = 0,8
e0,8 = 2,226
Valore futuro
FV = 2 000·2,226 = €4 451,08
Risposta
FV = €4 451,08
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 188,8 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7776
A = 12 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €188,84
Risposta
A = €188,84
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −86,98 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11,7/1,06 = 11,04
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −11,04·(−0,005) = 5,519%
P ≈ 985·(1 + 0,05519) = €1 039,36
Risposta
P = €1 039,36
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,879 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 4 500/1,05 = 4 285,71 → Σ = 4 285,71
anno 2: 7 500/1,103 = 6 802,72 → Σ = 11 088,44
anno 3: 7 000/1,158 = 6 046,86 → Σ = 17 135,30
anno 4: 6 000/1,216 = 4 936,21 → Σ = 22 071,51
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 2 864,70/4 936,21 = 3,58
Risposta
DPB = 3,58 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,167 anni).
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 702,95
NPV(10%) = −0,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.