Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €8 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.

PV = €8 0005% / 4n = 9

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €200 0007,2% / 12N = 360

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 3 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €986 quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 3P = €986YTM = 5%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 8 anni e quota €1 070. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 4%n = 8P = €1 070

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,6. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

D/E = 0,6r_e = 9%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,4 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 1% e il premio per il rischio di mercato del 6%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,25T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €4 000, €6 000, €5 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 000CF₃ = 5 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €200 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €25 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €25 000g = 2%n = 8r = 10%

NPV = €

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 12512 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·9 = 36

Valore futuro

FV = 8 000·(1 + 0,0125)³⁶ = 8 000·1,564 = €12 511,55

Risposta

FV = €12 511,55

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 288728 €

Rata mensile

i = 0,006, N = 360

A = 200 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁶⁰) = €1 357,58

Interessi totali

I = N·A − P = 360·1358 − 200 000 = €288 727,51

Risposta

I = €288 727,51

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 4,486 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,05)⁻³ = €863,84

Cedola

C = (986 − 863,84)/2,723 = €44,86

Tasso cedolare

c = 44,86/1000 = 4,486%

Risposta

c = 4,486%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 3,003 %

Equazione del rendimento

€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Risolvi numericamente

P(3%) = €1 070,20, P(4%) = €1 000,00

YTM = 3,003%

Risposta

YTM = 3,003%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,294 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·9% + 0,375·6%·(1 − 0,258) = 7,294%

Risposta

WACC = 7,294%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 14,71 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,25) = 1,179

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 1,179·(1 + 0,75·1,25) = 2,284

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 2,284·6% = 14,71%

Risposta

r_e = 14,71%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −6940 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 4 000/1,07 = 3 738,32

CF₂/(1 + 0,07)² = 6 000/1,145 = 5 240,63

CF₃/(1 + 0,07)³ = 5 000/1,225 = 4 081,49

Sommali

NPV = €−6 939,56

Risposta

NPV = €−6 939,56

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: NPV = −58309 €

Valore attuale della rendita crescente

((1,02)/(1,1))⁸ = 0,5466

PV = 25 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,5466) = 141 691,33

NPV

NPV = 141 691,33 − 200 000 = −€58 308,67

Risposta

NPV = −€58 308,67

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

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