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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.
PV = €2 0002% / 12n = 9
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 2,5%n = 3
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Viene venduta a €947. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5% (2×)n = 4P = €947
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,4. Il suo costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 0,4re = 12%rd = 6%T = 21%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €44,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 8%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €7 500 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €8 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €7 500S = €8 000n = 8r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €20 500, €28 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 20 500CF2 = 28 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2394 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 12 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €278,53
Risposta
A = €278,53
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1014 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,0125, N = 6
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €86,19
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9282 = €928,17
Prezzo
P = €1 014,37
Risposta
P = €1 014,37
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,01 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, N = 8
Risolvi numericamente
i = 3,005% per semestre
YTM
YTM = 2·3,005% = 6,01%
Risposta
YTM = 6,01%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,926 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·12% + 0,2857·6%·(1 − 0,21) = 9,926%
Risposta
WACC = 9,926%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,188 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
7 500·5,747 = 43 099,79
Valore attuale del valore residuo
8 000/1,851 = 4 322,15
NPV
NPV = −40 000 + 43 099,79 + 4 322,15 = €7 421,94
Risposta
NPV = €7 421,94
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 13,84 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 2 190,08
NPV(15%) = −623,82
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.