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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 6 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0002% / 4n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 11y0 = 7%y1 = 8%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 7%n = 6YTM = 3,5%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €22,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €16 000, €10 000, €13 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €80 000 rende €13 500 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €13 500n = 9
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 13308 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·6 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,127 = €13 307,79
Risposta
PV = €13 307,79
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1706 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·20 = 240
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,3404
A = 250 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 705,63
Risposta
A = €1 705,63
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −0,4442 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 70/1,035 = 67,63, t·PV = 67,63
t = 2: 70/1,071 = 65,35, t·PV = 130,69
t = 3: 70/1,109 = 63,14, t·PV = 189,41
t = 4: 70/1,148 = 61,00, t·PV = 244,00
t = 5: 70/1,188 = 58,94, t·PV = 294,69
t = 6: 1070/1,229 = 870,45, t·PV = 5 222,67
Duration
P = 1 186,50
D = 6 149,10/1 186,50 = 5,183
Risposta
D = 5,183 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,371 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·8% + 0,1429·4,5%·(1 − 0,2) = 7,371%
Risposta
WACC = 7,371%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,774 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 16 000/1,1 = 14 545,45
CF2/(1 + 0,1)2 = 10 000/1,21 = 8 264,46
CF3/(1 + 0,1)3 = 13 000/1,331 = 9 767,09
Sommali
NPV = €−12 422,99
Risposta
NPV = €−12 422,99
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,287 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/13 500 = 5,926
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.