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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 5 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0003% / 4n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 2? Trova il debito residuo B.
P = €150 0006% / 12N = 240k = 24
B = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €750 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 9P = €750YTM = 8%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 050 con un rendimento a scadenza del 7% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 4,3 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 50 punti base.
P0 = €1 050y = 7%D = 4,3Δy = −50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio del 2,5% e il premio per il rischio di mercato del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €31 000 alla fine di ogni anno per 4 anni e poi può essere venduta a €25 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €31 000S = €25 000n = 4r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €20 000 e rende €5 000, €7 500, €10 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·5 = 20
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,161 = €12 917,85
Risposta
PV = €12 917,85
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 141744 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 24 = 216
B = 1075·(1 − (1 + 0,005)−216)/0,005 = €141 743,60
Risposta
B = €141 743,60
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−9 = €500,25
Cedola
C = (750 − 500,25)/6,247 = €39,98
Tasso cedolare
c = 39,98/1000 = 3,998%
Risposta
c = 3,998%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1071 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 4,3/1,07 = 4,019
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −4,019·(−0,005) = 2,009%
P ≈ 1050·(1 + 0,02009) = €1 071,10
Risposta
P = €1 071,10
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,154 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
WACC
WACC = 0,6154·13% + 0,3846·4%·(1 − 0,25) = 9,154%
Risposta
WACC = 9,154%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,774 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 0,9/(1 + 0,742·0,25) = 0,7592
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,7592·(1 + 0,742·1) = 1,322
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,322·5,5% = 9,774%
Risposta
re = 9,774%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 21052 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −20 000 − (−10 000) = −10 000
ΔCF1 = 5 000 − 5 500 = −500
ΔCF2 = 7 500 − 4 000 = 3 500
ΔCF3 = 10 500 − 2 500 = 8 000
TIR della differenza
NPVΔ(3%) = 134,78
NPVΔ(4%) = −132,85
r* = 3,499%
Risposta
r* = 3,499%
Verifica: al 3,499% entrambi i VAN valgono €1 303,09.