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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 9 anni. Il tasso di interesse è il 5% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 5%n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €20 000 tra 4 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €20 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €928 quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 12P = €928YTM = 9%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 13 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 122. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 122prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 4 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,6 ha un rendimento richiesto del 10,2%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,6re = 10,2%rf = 3%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €18,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €4 000, €4 000, €8 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €17 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €17 000g = 3%n = 8r = 8%
NPV = €
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 35539 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6446)/0,05 = 7,108
Valore attuale
PV = 5 000·7,108 = €35 539,11
Risposta
PV = €35 539,11
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 383,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,09)−12 = €355,53
Cedola
C = (928 − 355,53)/7,161 = €79,95
Tasso cedolare
c = 79,95/1000 = 7,995%
Risposta
c = 7,995%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 7,383 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1122 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 7%: €1 136,40
y = 8%: €1 099,27
YTC = 7,383%
Risposta
YTC = 7,383%
Il rendimento a scadenza è del 7,499%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 7,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (10,2% − 3%)/1,6 = 4,5%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 4,5% = 7,5%
Risposta
rm = 7,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,784 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 000 000·€18,50 = €37 000 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 0,8·6% = 7,3%
Pesi
V = €42 000 000, E/V = 0,881, D/V = 0,119
WACC
WACC = 0,881·7,3% + 0,119·4%·(1 − 0,258) = 6,784%
Risposta
WACC = 6,784%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −7546 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 4 000/1,12 = 3 571,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 4 000/1,254 = 3 188,78
CF3/(1 + 0,12)3 = 8 000/1,405 = 5 694,24
Sommali
NPV = €−7 545,55
Risposta
NPV = €−7 545,55
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: NPV = −42695 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.