Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 22%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 7 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €25 0004,8% / 12N = 84
I = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 12 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 4% al 4,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4,5%n = 12y1 = 4%y2 = 4,5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 4 anni e quota €1 035. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 4P = €1 035
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 12%rd = 4%T = 25%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €22,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 8%rd = 4%T = 28%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi, dura 6 anni e costa €2 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €2 000n = 6r = 8%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e restituisce €13 000, €9 500, €17 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 9 500CF3 = 17 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 23,88 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,22/4 = 0,055
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,055)4 − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%
Risposta
EAR = 23,88%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 4484 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,004, N = 84
A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−84) = €351,00
Interessi totali
I = N·A − P = 84·351 − 25 000 = €4 484,26
Risposta
I = €4 484,26
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −46,93 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 035 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 037,17, P(4%) = €1 000,00
YTM = 3,057%
Risposta
YTM = 3,057%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·4%·(1 − 0,25) = 7,5%
Risposta
WACC = 7,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,496 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−6)/0,08 = 4,623
Prezzo d’acquisto annualizzato
80 000/4,623 = 17 305,23
EAC
EAC = 17 305,23 + 2 000 = €19 305,23
Risposta
EAC = €19 305,23
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 26,13 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 440,00
NPV(30%) = −1 413,29
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.