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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €50 000 tra 8 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €50 0006% / 12n = 8

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 5? Trova il debito residuo B.

P = €300 0003,6% / 12N = 300k = 60

B = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 8%YTM = 3,5%n = 5

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 6 anni e quota €885. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 6P = €885

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €1 000 000. Il suo WACC è del 9,75%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 9,75%r_d = 3%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €23,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €58 800 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,50 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €117 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.

N = 5 000 000P₀ = €23,50capitale proprio contabile = €58 800 000D₀ = €1,50g = 2%D = €117 500 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €60 000 oggi e rende €18 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 000CF₂ = 18 000CF₃ = 18 000CF₄ = 18 000CF₅ = 18 000CF₆ = 18 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 000, €7 000, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 30976 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·8 = 96

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,614 = €30 976,20

Risposta

PV = €30 976,20

2.Valore temporale del denaro

Risposta: B = 259439 €

Rata mensile

i = 0,003, N = 300

A = 300 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 518,01

Valore attuale delle rate rimanenti

Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.

N − k = 300 − 60 = 240

B = 1518·(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰)/0,003 = €259 439,14

Risposta

B = €259 439,14

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1205 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €40,00, i = 0,0175, N = 10

Valore attuale delle cedole

€40,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €364,05

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,8407 = €840,73

Prezzo

P = €1 204,78

Risposta

P = €1 204,78

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 8,528 %

Equazione del rendimento

€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Risolvi numericamente

P(8%) = €907,54, P(9%) = €865,42

YTM = 8,528%

Risposta

YTM = 8,528%

5.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 11 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

Parte del debito nel WACC

0,1429·3%·(1 − 0,258) = 0,318%

Costo del capitale proprio

r_e = (9,75% − 0,318%)/0,8571 = 11%

Risposta

r_e = 11%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 5,38 %

Costo del capitale proprio

D₁ = 1,5·1,02 = €1,53

r_e = 1,53/23,5 + 0,02 = 8,511%

Valori di mercato

E = 5 000 000·€23,50 = €117 500 000

V = €235 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8,511% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 5,38%

Risposta

WACC = 5,38%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,742 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 18 000/1,05 = 17 142,86 → Σ = 17 142,86

anno 2: 18 000/1,103 = 16 326,53 → Σ = 33 469,39

anno 3: 18 000/1,158 = 15 549,08 → Σ = 49 018,46

anno 4: 18 000/1,216 = 14 808,64 → Σ = 63 827,11

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 10 981,54/14 808,64 = 3,742

Risposta

DPB = 3,742 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,333 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 34,88 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 719,16

NPV(35%) = −16,77

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·719,16/(719,16 − (−16,77)) = 34,89%

esatto: NPV(34,88%) = 0 → IRR = 34,88%

Risposta

IRR = 34,88%

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