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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €1 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 500i = 6%n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 20 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1006% / 12N = 240
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 2,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 7y0 = 2,5%y1 = 4%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 3 anni e quota €1 040. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,2. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,6. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,2D/E = 0,6T = 30%rf = 2,5%rm − rf = 6,5%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €18 000, €12 000, €15 000, €16 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €10 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 9. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €10 000g = 3%n = 9r = 8%
NPV = €
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 5198 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7921)/0,06 = 3,465
Valore attuale
PV = 1 500·3,465 = €5 197,66
Risposta
PV = €5 197,66
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 46204 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,57%
Risposta
YTM = 3,57%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,23 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·13% + 0,1667·3%·(1 − 0,21) = 11,23%
Risposta
WACC = 11,23%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 13,58 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,2·(1 + 0,7·0,6) = 1,704
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,704·6,5% = 13,58%
Risposta
re = 13,58%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1263 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 18 000/1,15 = 15 652,17
CF2/(1 + 0,15)2 = 12 000/1,322 = 9 073,72
CF3/(1 + 0,15)3 = 15 000/1,521 = 9 862,74
CF4/(1 + 0,15)4 = 16 000/1,749 = 9 148,05
Sommali
NPV = €−1 263,31
Risposta
NPV = €−1 263,31
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: NPV = −30542 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.