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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 2 anni.
PV = €20 0004,8% / 12n = 2
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €150 0002,4% / 12N = 240
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 3%n = 9
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €975 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 7,7 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 50 punti base.
P0 = €975y = 4%D = 7,7Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 5,4%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,6re = 5,4%rf = 3%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 9%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 062 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €16 000, €10 000, €15 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €20 000 rende €4 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €4 500n = 6
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 22011 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·20 = 240
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,6191
A = 150 000·0,002/(1 − 0,6191) = €787,57
Risposta
A = €787,57
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1235 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,015, N = 18
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €470,18
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7649 = €764,91
Prezzo
P = €1 235,09
Risposta
P = €1 235,09
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 938,9 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 7,7/1,04 = 7,404
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −7,404·(0,005) = −3,702%
P ≈ 975·(1 − 0,03702) = €938,91
Risposta
P = €938,91
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 7 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (5,4% − 3%)/0,6 = 4%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 4% = 7%
Risposta
rm = 7%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,506 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 14 000/1,1 = 12 727,27
CF2/(1 + 0,1)2 = 16 000/1,21 = 13 223,14
CF3/(1 + 0,1)3 = 10 000/1,331 = 7 513,15
CF4/(1 + 0,1)4 = 15 000/1,464 = 10 245,20
Sommali
NPV = €−1 291,24
Risposta
NPV = €−1 291,24
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,312 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−6)/i = 20 000/4 500 = 4,444
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.