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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 9 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0002% / 12n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 7 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 4% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 7? Trova FV.
A = €3 000i = 4%n = 7
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 6%n = 6
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 010 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 5,6 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 50 punti base.
P0 = €1 010y = 3%D = 5,6Δy = −50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,8 ha un rendimento richiesto del 7,1%. Il tasso privo di rischio è del 1,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,8re = 7,1%rf = 1,5%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €20,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 8%rd = 6%T = 30%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €20 000 oggi, dura 10 anni e costa €2 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €2 000n = 10r = 5%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €12 000, €12 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 12 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 41770 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·9 = 108
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,197 = €41 769,77
Risposta
PV = €41 769,77
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 24643 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,04)7 − 1)/0,04 = 7,898
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·7,898·1,04 = €24 642,68
Risposta
FV = €24 642,68
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 850,7 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,03, N = 12
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €149,31
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7014 = €701,38
Prezzo
P = €850,69
Risposta
P = €850,69
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1037 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 5,6/1,03 = 5,437
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −5,437·(−0,005) = 2,718%
P ≈ 1010·(1 + 0,02718) = €1 037,46
Risposta
P = €1 037,46
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (7,1% − 1,5%)/0,8 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 1,5% + 7% = 8,5%
Risposta
rm = 8,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,673 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 500 000·€20,50 = €51 250 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 1,1·7% = 8,7%
Pesi
V = €93 250 000, E/V = 0,5496, D/V = 0,4504
WACC
WACC = 0,5496·8,7% + 0,4504·6%·(1 − 0,3) = 6,673%
Risposta
WACC = 6,673%
7.VAN e TIR
Risposta: EAC = 4590 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−10)/0,05 = 7,722
Prezzo d’acquisto annualizzato
20 000/7,722 = 2 590,09
EAC
EAC = 2 590,09 + 2 000 = €4 590,09
Risposta
EAC = €4 590,09
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,56 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 239,67
NPV(15%) = −113,42
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.