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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 2 anni.
PV = €2 0003% / 12n = 2
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €150 0003% / 12N = 300
I = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €836 quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 5P = €836YTM = 7%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 4 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 4P = €945
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €57,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 6%rd = 6%T = 30%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €18 000, €25 000, €23 000, €30 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 000, €7 500, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 7 500CF3 = 5 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2124 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0025, N = 300
A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−300) = €711,32
Interessi totali
I = N·A − P = 300·711,3 − 150 000 = €63 395,09
Risposta
I = €63 395,09
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,07)−5 = €712,99
Cedola
C = (836 − 712,99)/4,1 = €30,00
Tasso cedolare
c = 30/1000 = 3%
Risposta
c = 3%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,534 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(4%) = €963,70, P(5%) = €929,08
YTM = 4,534%
Risposta
YTM = 4,534%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,9 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 8,9%
Risposta
WACC = 8,9%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,311 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€57,00 = €228 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 1,5·5% = 8,5%
Pesi
V = €238 500 000, E/V = 0,956, D/V = 0,04403
WACC
WACC = 0,956·8,5% + 0,04403·6%·(1 − 0,3) = 8,311%
Risposta
WACC = 8,311%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 11438 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 18 000/1,12 = 16 071,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 25 000/1,254 = 19 929,85
CF3/(1 + 0,12)3 = 23 000/1,405 = 16 370,95
CF4/(1 + 0,12)4 = 30 000/1,574 = 19 065,54
Sommali
NPV = €11 437,76
Risposta
NPV = €11 437,76
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 46,69 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(45%) = 198,86
NPV(50%) = −370,37
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.