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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €5 000g = 3%r = 7%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €100 000 tra 13 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €100 0005,4% / 12N = 156
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 9%n = 4
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 7%n = 6YTM = 5,5%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il premio per il rischio di mercato è del 6%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 0,5T = 30%rf = 1,5%rm − rf = 6%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €25 000, €21 000, €15 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €18 500, €17 000, €15 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 17 000CF3 = 15 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 125000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,045, N = 8
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,7032)/0,045 = €197,88
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7032 = €703,19
Prezzo
P = €901,06
Risposta
P = €901,06
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,136 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 70/1,055 = 66,35, t·PV = 66,35
t = 2: 70/1,113 = 62,89, t·PV = 125,78
t = 3: 70/1,174 = 59,61, t·PV = 178,84
t = 4: 70/1,239 = 56,51, t·PV = 226,02
t = 5: 70/1,307 = 53,56, t·PV = 267,80
t = 6: 1070/1,379 = 776,01, t·PV = 4 656,08
Duration
P = 1 074,93
D = 5 520,87/1 074,93 = 5,136
Risposta
D = 5,136 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,733 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·6%·(1 − 0,3) = 8,733%
Risposta
WACC = 8,733%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,41 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,7·0,5) = 1,485
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,485·6% = 10,41%
Risposta
re = 10,41%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −6049 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 25 000/1,07 = 23 364,49
CF2/(1 + 0,07)2 = 21 000/1,145 = 18 342,21
CF3/(1 + 0,07)3 = 15 000/1,225 = 12 244,47
Sommali
NPV = €−6 048,83
Risposta
NPV = €−6 048,83
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 48,15 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(45%) = 928,49
NPV(50%) = −518,52
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.