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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 al 3% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 5 anni.
PV = €5 000r = 3%t = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €1 000 all’inizio di ogni anno per 28 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 7% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 28? Trova FV.
A = €1 000i = 7%n = 28
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 6 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 7% al 8%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 2%n = 6y1 = 7%y2 = 8%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 030 con un rendimento a scadenza del 5% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 8,4 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 150 punti base.
P0 = €1 030y = 5%D = 8,4Δy = −150 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 6,7%. Il tasso privo di rischio è del 2,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,6re = 6,7%rf = 2,5%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni quotate €50,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €60 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €80 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un progetto costa €30 000 oggi e rende €9 500, €9 000, €11 000, €6 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €4 000, €2 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €15 000 e rende €4 000, €6 000, €7 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,03·5 = 0,15
e0,15 = 1,162
Valore futuro
FV = 5 000·1,162 = €5 809,17
Risposta
FV = €5 809,17
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 86347 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,07)28 − 1)/0,07 = 80,7
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 1 000·80,7·1,07 = €86 346,53
Risposta
FV = €86 346,53
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −39,05 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 8,4/1,05 = 8
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −8·(−0,015) = 12%
P ≈ 1030·(1 + 0,12) = €1 153,60
Risposta
P = €1 153,60
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 9,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (6,7% − 2,5%)/0,6 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 2,5% + 7% = 9,5%
Risposta
rm = 9,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,369 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 9 500/1,05 = 9 047,62 → Σ = 9 047,62
anno 2: 9 000/1,103 = 8 163,27 → Σ = 17 210,88
anno 3: 11 000/1,158 = 9 502,21 → Σ = 26 713,10
anno 4: 6 000/1,216 = 4 936,21 → Σ = 31 649,31
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 3 286,90/4 936,21 = 3,666
Risposta
DPB = 3,666 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,083 anni).
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 5,886 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 7 500 − 2 000 = 5 500
TIR della differenza
NPVΔ(5%) = 136,59
NPVΔ(6%) = −17,20
r* = 5,886%
Risposta
r* = 5,886%
Verifica: al 5,886% entrambi i VAN valgono €446,54.