Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €5 000 tra 10 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €5 0005% / 12n = 10

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €200 0003% / 12N = 360

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 7 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 085 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 7P = €1 085YTM = 5,5%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Viene venduta a €973. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 3P = €973

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €57,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 8,5%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €60 000 oggi, dura 8 anni e costa €3 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 6%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.

C₀ = €60 000M = €3 000n = 8r = 6%

EAC = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €10 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 9. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 4%n = 9r = 10%

NPV = €

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 3036 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·10 = 120

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,647 = €3 035,81

Risposta

PV = €3 035,81

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 103555 €

Rata mensile

i = 0,0025, N = 360

A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁶⁰) = €843,21

Interessi totali

I = N·A − P = 360·843,2 − 200 000 = €103 554,90

Risposta

I = €103 554,90

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 6,996 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,055)⁻⁷ = €687,44

Cedola

C = (1085 − 687,44)/5,683 = €69,96

Tasso cedolare

c = 69,96/1000 = 6,996%

Risposta

c = 6,996%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 7,014 %

Per periodo

C = €30,00, N = 6

Risolvi numericamente

i = 3,507% per semestre

YTM

YTM = 2·3,507% = 7,014%

Risposta

YTM = 7,014%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 10,4 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·13% + 0,3333·7%·(1 − 0,258) = 10,4%

Risposta

WACC = 10,4%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,004 %

Valori di mercato

E = 1 000 000·€57,00 = €57 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·5% = 7,5%

Pesi

V = €76 200 000, E/V = 0,748, D/V = 0,252

WACC

WACC = 0,748·7,5% + 0,252·7%·(1 − 0,21) = 7,004%

Risposta

WACC = 7,004%

7.VAN e TIR

Risposta: EAC = 12662 €

Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.

Fattore di rendita

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

Prezzo d’acquisto annualizzato

60 000/6,21 = 9 662,16

EAC

EAC = 9 662,16 + 3 000 = €12 662,16

Risposta

EAC = €12 662,16

8.VAN e TIR

Risposta: NPV = −33937 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale della rendita crescente

((1,04)/(1,1))⁹ = 0,6036

PV = 10 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6036) = 66 062,81

NPV

NPV = 66 062,81 − 100 000 = −€33 937,19

Risposta

NPV = −€33 937,19

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

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