Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 25%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.

r = 25%m = 2

EAR = %

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €20 0005,4% / 12N = 72

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 8 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €907 quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 8P = €907YTM = 6%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 3 anni e quota €1 045. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 4%n = 3P = €1 045

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €5 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €41,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €61 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €205 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.

N = 5 000 000P₀ = €41,00capitale proprio contabile = €61 500 000D₀ = €1,80g = 5%D = €205 000 000r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €8 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €8 000g = 4%r = 8%

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un investimento di €50 000 rende €15 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

C₀ = €50 000CF = €15 500n = 6

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: EAR = 26,56 %

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso per periodo

r/m = 0,25/2 = 0,125

Capitalizza su un anno

EAR = (1 + 0,125)² − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%

Risposta

EAR = 26,56%

Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 325,8 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,7238

A = 20 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €325,82

Risposta

A = €325,82

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 4,502 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,06)⁻⁸ = €627,41

Cedola

C = (907 − 627,41)/6,21 = €45,02

Tasso cedolare

c = 45,02/1000 = 4,502%

Risposta

c = 4,502%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 2,427 %

Equazione del rendimento

€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Risolvi numericamente

P(2%) = €1 057,68, P(3%) = €1 028,29

YTM = 2,427%

Risposta

YTM = 2,427%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,083 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €12 000 000

E/V = 0,4167, P_s/V = 0,08333, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,4167·13% + 0,08333·8% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 8,083%

Risposta

WACC = 8,083%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,474 %

Costo del capitale proprio

D₁ = 1,8·1,05 = €1,89

r_e = 1,89/41 + 0,05 = 9,61%

Valori di mercato

E = 5 000 000·€41,00 = €205 000 000

V = €410 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9,61% + 0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 6,474%

Risposta

WACC = 6,474%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −50000 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore dei flussi di cassa

PV = 8 000/(0,08 − 0,04) = 200 000,00

NPV

NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00

Risposta

NPV = −€50 000,00

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 21,24 %

Fattore di rendita richiesto

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 50 000/15 500 = 3,226

Ricava il tasso

Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.

i = 21%: 3,245

i = 22%: 3,167

IRR = 21,24%

Risposta

IRR = 21,24%

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