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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €5 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 8% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €5 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 8%n = 9
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Viene venduta a €1 223. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 7P = €1 223
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,2 ha un rendimento richiesto del 6,3%. Il tasso privo di rischio è del 1,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,2re = 6,3%rf = 1,5%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio del 2,5% e il premio per il rischio di mercato del 7%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €9 000, €7 000, €7 000, €6 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €4 500, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 6 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 100000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,65
A = 15 000·0,006/(1 − 0,65) = €257,18
Risposta
A = €257,18
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 746,8 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,04, N = 18
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,4936)/0,04 = €253,19
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4936 = €493,63
Prezzo
P = €746,81
Risposta
P = €746,81
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,507 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, N = 14
Risolvi numericamente
i = 1,253% per semestre
YTM
YTM = 2·1,253% = 2,507%
Risposta
YTM = 2,507%
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 5,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (6,3% − 1,5%)/1,2 = 4%
Rendimento di mercato
rm = 1,5% + 4% = 5,5%
Risposta
rm = 5,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 11,22 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1/(1 + 0,7·0,2) = 0,8772
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,8772·(1 + 0,7·0,6) = 1,246
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,246·7% = 11,22%
Risposta
re = 11,22%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2412 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 9 000/1,12 = 8 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 7 000/1,254 = 5 580,36
CF3/(1 + 0,12)3 = 7 000/1,405 = 4 982,46
CF4/(1 + 0,12)4 = 6 000/1,574 = 3 813,11
Sommali
NPV = €2 411,64
Risposta
NPV = €2 411,64
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,203 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 181,41
NPV(10%) = −537,19
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.