Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €12 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 5 anni.

PV = €12 0002% / 12n = 5

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €30 0007,2% / 12N = 36

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 6%YTM = 8%n = 9

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 9 anni e quota €845. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 9P = €845

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,6. Il suo costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

D/E = 0,6r_e = 12%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €24,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 8%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €28 500 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €8 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €80 000CF = €28 500S = €8 000n = 3r = 10%

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €14 000, €16 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 16 000CF₃ = 14 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 13261 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·5 = 60

Valore futuro

FV = 12 000·(1 + 0,001667)⁶⁰ = 12 000·1,105 = €13 260,95

Risposta

FV = €13 260,95

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 3446 €

Rata mensile

i = 0,006, N = 36

A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁶) = €929,06

Interessi totali

I = N·A − P = 36·929,1 − 30 000 = €3 446,11

Risposta

I = €3 446,11

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 873,4 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €30,00, i = 0,04, N = 18

Valore attuale delle cedole

€30,00·(1 − 0,4936)/0,04 = €379,78

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,4936 = €493,63

Prezzo

P = €873,41

Risposta

P = €873,41

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 8,537 %

Equazione del rendimento

€845 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Risolvi numericamente

P(8%) = €875,06, P(9%) = €820,14

YTM = 8,537%

Risposta

YTM = 8,537%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 9 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·12% + 0,375·5%·(1 − 0,2) = 9%

Risposta

WACC = 9%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,7 %

Valori di mercato

E = 2 500 000·€24,50 = €61 250 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·7% = 7,3%

Pesi

V = €81 650 000, E/V = 0,7502, D/V = 0,2498

WACC

WACC = 0,7502·7,3% + 0,2498·7%·(1 − 0,3) = 6,7%

Risposta

WACC = 6,7%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −3114 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale dei flussi di cassa annui

28 500·2,487 = 70 875,28

Valore attuale del valore residuo

8 000/1,331 = 6 010,52

NPV

NPV = −80 000 + 70 875,28 + 6 010,52 = −€3 114,20

Risposta

NPV = −€3 114,20

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 35,13 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(35%) = 42,93

NPV(40%) = −1 552,48

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 35 + 5·42,93/(42,93 − (−1 552,48)) = 35,13%

esatto: NPV(35,13%) = 0 → IRR = 35,13%

Risposta

IRR = 35,13%

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