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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €40 000 tra 2 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €40 0006% / 12n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 500 all’inizio di ogni anno per 9 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 9? Trova FV.
A = €2 500i = 8%n = 9
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 15 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 478 quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 15P = €1 478YTM = 3%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 015 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11,1 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 25 punti base.
P0 = €1 015y = 4%D = 11,1Δy = −25 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
D/E = 1,5re = 8%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €15,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi. Genera €6 000 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €3 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €30 000CF = €6 000S = €3 000n = 5r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 000, €7 500, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 500CF3 = 6 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 35487 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·2 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,127 = €35 487,43
Risposta
PV = €35 487,43
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 33716 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,08)9 − 1)/0,08 = 12,49
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 500·12,49·1,08 = €33 716,41
Risposta
FV = €33 716,41
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,004 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,03)−15 = €641,86
Cedola
C = (1478 − 641,86)/11,94 = €70,04
Tasso cedolare
c = 70,04/1000 = 7,004%
Risposta
c = 7,004%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1042 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11,1/1,04 = 10,67
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −10,67·(−0,0025) = 2,668%
P ≈ 1015·(1 + 0,02668) = €1 042,08
Risposta
P = €1 042,08
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,225 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·8% + 0,6·4,5%·(1 − 0,25) = 5,225%
Risposta
WACC = 5,225%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,68 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
6 000·3,993 = 23 956,26
Valore attuale del valore residuo
3 000/1,469 = 2 041,75
NPV
NPV = −30 000 + 23 956,26 + 2 041,75 = −€4 001,99
Risposta
NPV = −€4 001,99
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 36,85 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 257,58
NPV(40%) = −415,45
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.