Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €2 000g = 1%r = 4%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €8 0002,4% / 12N = 72

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 10 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 7% al 7,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?

F = €1 000cedola = 4,5%n = 10y₁ = 7%y₂ = 7,5%

ΔP = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 8 anni e quota €1 110. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 8P = €1 110

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €11,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.

β = 1,3r_f = 1%r_m = 6%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €23 000, €13 000, €26 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 000CF₂ = 13 000CF₃ = 26 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un investimento di €40 000 rende €15 500 alla fine di ogni anno per 3 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

C₀ = €40 000CF = €15 500n = 3

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 66667 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,04 − 0,01) = 2 000/0,03 = €66 666,67

Risposta

PV = €66 666,67

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 119,4 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 8 000·0,002/(1 − 0,866) = €119,41

Risposta

A = €119,41

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: ΔP = −30,33 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo al vecchio rendimento

C = €45,00, i = 0,07, N = 10

€45,00·(1 − 0,5083)/0,07 + €1 000·0,5083 = €316,06 + €508,35 = €824,41

Prezzo al nuovo rendimento

C = €45,00, i = 0,075, N = 10

€45,00·(1 − 0,4852)/0,075 + €1 000·0,4852 = €308,88 + €485,19 = €794,08

Variazione

ΔP = 794,08 − 824,41 = −€30,33

Risposta

ΔP = −€30,33

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 1,529 %

Equazione del rendimento

€1 110 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Risolvi numericamente

P(1%) = €1 153,03, P(2%) = €1 073,25

YTM = 1,529%

Risposta

YTM = 1,529%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,298 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·12% + 0,5·3,5%·(1 − 0,258) = 7,298%

Risposta

WACC = 7,298%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 4,085 %

Valori di mercato

E = 1 000 000·€11,50 = €11 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,3·5% = 7,5%

Pesi

V = €31 900 000, E/V = 0,3605, D/V = 0,6395

WACC

WACC = 0,3605·7,5% + 0,6395·3%·(1 − 0,28) = 4,085%

Risposta

WACC = 4,085%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −8813 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 23 000/1,1 = 20 909,09

CF₂/(1 + 0,1)² = 13 000/1,21 = 10 743,80

CF₃/(1 + 0,1)³ = 26 000/1,331 = 19 534,18

Sommali

NPV = €−8 812,92

Risposta

NPV = €−8 812,92

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 7,924 %

Fattore di rendita richiesto

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 40 000/15 500 = 2,581

Ricava il tasso

Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.

i = 7%: 2,624

i = 8%: 2,577

IRR = 7,924%

Risposta

IRR = 7,924%

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