Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 20%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.

r = 20%m = 12

EAR = %

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 7 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €30 0007,2% / 12N = 84

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 3%YTM = 5,5%n = 10

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 10 anni e quota €845. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 10P = €845

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.

E = €8 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €23,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €13 800 000. Ha appena pagato un dividendo di €0,70 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €13 800 000 e un costo al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.

N = 1 000 000P₀ = €23,00capitale proprio contabile = €13 800 000D₀ = €0,70g = 3%D = €13 800 000r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €17 000, €35 000, €27 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 35 000CF₃ = 27 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €40 000 e restituisce €19 000, €25 000, €26 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −40 000CF₁ = 19 000CF₂ = 25 000CF₃ = 26 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: EAR = 21,94 %

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso per periodo

r/m = 0,2/12 = 0,01667

Capitalizza su un anno

EAR = (1 + 0,01667)¹² − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%

Risposta

EAR = 21,94%

Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 8280 €

Rata mensile

i = 0,006, N = 84

A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁸⁴) = €455,72

Interessi totali

I = N·A − P = 84·455,7 − 30 000 = €8 280,40

Risposta

I = €8 280,40

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 809,7 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €15,00, i = 0,0275, N = 20

Valore attuale delle cedole

€15,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €228,41

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,5813 = €581,25

Prezzo

P = €809,66

Risposta

P = €809,66

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 5,008 %

Equazione del rendimento

€845 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Risolvi numericamente

P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20

YTM = 5,008%

Risposta

YTM = 5,008%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,827 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846

WACC

WACC = 0,6154·12% + 0,3846·5%·(1 − 0,25) = 8,827%

Risposta

WACC = 8,827%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 5,612 %

Costo del capitale proprio

D₁ = 0,7·1,03 = €0,72

r_e = 0,721/23 + 0,03 = 6,135%

Valori di mercato

E = 1 000 000·€23,00 = €23 000 000

V = €36 800 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·6,135% + 0,375·6%·(1 − 0,21) = 5,612%

Risposta

WACC = 5,612%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −9096 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 17 000/1,09 = 15 596,33

CF₂/(1 + 0,09)² = 35 000/1,188 = 29 458,80

CF₃/(1 + 0,09)³ = 27 000/1,295 = 20 848,95

Sommali

NPV = €−9 095,92

Risposta

NPV = €−9 095,92

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 32,45 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 1 470,19

NPV(35%) = −1 437,79

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·1 470,19/(1 470,19 − (−1 437,79)) = 32,53%

esatto: NPV(32,45%) = 0 → IRR = 32,45%

Risposta

IRR = 32,45%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation