Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €12 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €20 000 al 6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €275 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €20 000A = €2756% / 12
N = rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 8 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 8y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 4%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 7%n = 4YTM = 4%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €8,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 8%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €7 000, €6 000, €10 000, €5 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 000, €5 000, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 000CF3 = 7 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 240000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,005/275 = 0,6364
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,6364)/ln(1,005) = 90,62
Arrotonda a rate intere
90 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 91
Risposta
N = 91 rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 6,523 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31
t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44
t = 3: 70/1,125 = 62,23, t·PV = 186,69
t = 4: 1070/1,17 = 914,64, t·PV = 3 658,56
Duration
P = 1 108,90
D = 4 042,00/1 108,90 = 3,645
Risposta
D = 3,645 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,22 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·10% + 0,25·4%·(1 − 0,28) = 8,22%
Risposta
WACC = 8,22%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,212 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 7 000/1,05 = 6 666,67
CF2/(1 + 0,05)2 = 6 000/1,103 = 5 442,18
CF3/(1 + 0,05)3 = 10 000/1,158 = 8 638,38
CF4/(1 + 0,05)4 = 5 000/1,216 = 4 113,51
Sommali
NPV = €4 860,73
Risposta
NPV = €4 860,73
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 40,81 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(40%) = 102,04
NPV(45%) = −498,18
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.