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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 18%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €20 0003% / 12N = 48
I = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 4%n = 8
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 4 anni e quota €965. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 4P = €965
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio del 2% e il premio per il rischio di mercato del 6%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €19 000, €11 000, €19 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €9 500, €14 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 14 000CF3 = 9 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 18,81 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,18/2 = 0,09
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Risposta
EAR = 18,81%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 1249 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0025, N = 48
A = 20 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−48) = €442,69
Interessi totali
I = N·A − P = 48·442,7 − 20 000 = €1 248,95
Risposta
I = €1 248,95
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 932,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,02, N = 16
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,7284)/0,02 = €203,67
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7284 = €728,45
Prezzo
P = €932,11
Risposta
P = €932,11
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,034 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€965 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,034%
Risposta
YTM = 7,034%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,278 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,2) = 0,9483
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,9483·(1 + 0,8·0,6) = 1,403
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,403·6% = 10,42%
Risposta
re = 10,42%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2894 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 19 000/1,08 = 17 592,59
CF2/(1 + 0,08)2 = 11 000/1,166 = 9 430,73
CF3/(1 + 0,08)3 = 19 000/1,26 = 15 082,81
Sommali
NPV = €−2 893,87
Risposta
NPV = €−2 893,87
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 28,89 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 168,00
NPV(30%) = −311,79
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.