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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 5 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0003,6% / 12n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €75 000 tra 4 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €75 0006% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 8%n = 7
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 3 anni e quota €1 040. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 3P = €1 040
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €37,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 11%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 11%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €8 000, €5 000, €6 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €19 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €19 000g = 2%n = 8r = 8%
NPV = €
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 16710 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,197 = €16 709,91
Risposta
PV = €16 709,91
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1386 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,04, N = 14
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €105,63
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5775 = €577,48
Prezzo
P = €683,11
Risposta
P = €683,11
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,517 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 054,46, P(6%) = €1 026,73
YTM = 5,517%
Risposta
YTM = 5,517%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,1 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·12% + 0,6667·4,5%·(1 − 0,3) = 6,1%
Risposta
WACC = 6,1%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,743 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 8 000/1,06 = 7 547,17
CF2/(1 + 0,06)2 = 5 000/1,124 = 4 449,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 6 000/1,191 = 5 037,72
Sommali
NPV = €−2 965,13
Risposta
NPV = €−2 965,13
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: NPV = −33787 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.