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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 21%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 21%m = 12
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €1 000 all’inizio di ogni anno per 10 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 3% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 10? Trova FV.
A = €1 000i = 3%n = 10
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 6 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 10%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 6y0 = 9%y1 = 10%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 8%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 5%n = 5YTM = 8%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 7%T = 21%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €42,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 7,5%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €12 000, €14 000, €12 000, €10 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €13 000, €18 500, €17 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 18 500CF3 = 17 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 23,14 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,21/12 = 0,0175
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0175)12 − 1 = 1,231 − 1 = 23,14%
Risposta
EAR = 23,14%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 11808 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,03)10 − 1)/0,03 = 11,46
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 1 000·11,46·1,03 = €11 807,80
Risposta
FV = €11 807,80
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 4,808 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 50/1,08 = 46,30, t·PV = 46,30
t = 2: 50/1,166 = 42,87, t·PV = 85,73
t = 3: 50/1,26 = 39,69, t·PV = 119,07
t = 4: 50/1,36 = 36,75, t·PV = 147,01
t = 5: 1050/1,469 = 714,61, t·PV = 3 573,06
Duration
P = 880,22
D = 3 971,17/880,22 = 4,512
Risposta
D = 4,512 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,518 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·7%·(1 − 0,21) = 8,518%
Risposta
WACC = 8,518%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,671 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 12 000/1,15 = 10 434,78
CF2/(1 + 0,15)2 = 14 000/1,322 = 10 586,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 12 000/1,521 = 7 890,19
CF4/(1 + 0,15)4 = 10 000/1,749 = 5 717,53
Sommali
NPV = €4 628,52
Risposta
NPV = €4 628,52
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 39,76 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 1 690,04
NPV(40%) = −80,17
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.