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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 7 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0004% / 4n = 7
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €10 000 tra 7 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €10 0007,2% / 12N = 84
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 3 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 028 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 3P = €1 028YTM = 4%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 015 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11,9 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 100 punti base.
P0 = €1 015y = 3%D = 11,9Δy = −100 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €29,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 11%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 4%rm = 11%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 6 anni e costa €1 500 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €1 500n = 6r = 5%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €20 000 rende €6 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €6 000n = 6
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 7568 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·7 = 28
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,321 = €7 568,36
Risposta
PV = €7 568,36
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 91,91 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−3 = €889,00
Cedola
C = (1028 − 889,00)/2,775 = €50,09
Tasso cedolare
c = 50,09/1000 = 5,009%
Risposta
c = 5,009%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1132 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11,9/1,03 = 11,55
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −11,55·(−0,01) = 11,55%
P ≈ 1015·(1 + 0,1155) = €1 132,27
Risposta
P = €1 132,27
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,625 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−6)/0,05 = 5,076
Prezzo d’acquisto annualizzato
40 000/5,076 = 7 880,70
EAC
EAC = 7 880,70 + 1 500 = €9 380,70
Risposta
EAC = €9 380,70
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 19,91 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−6)/i = 20 000/6 000 = 3,333
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.